Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
xy'-y=x^3+x

Answer 1

Решим методом Лагранжа:
Найдем решения однородного уравнения:
xy'-y=0  | * dx/(xy)
dy/y - dx/x=0
Интегрируем
∫1/y dy - ∫1/x dx = C
ln|y|-ln|x|=C
ln|y/x|=C
y/x=e^c
заменим е^c на С
y/x=C
y=Cx - решение однородного уравнения
заменим С на функцию С=u(х), Тогда:
y=u(x)*x
y'=u'(x)*x+u(x)
Подставляем в исходное уравнение:
x²*u'(x)+x*u(x)-x*u(x)=x³+x
x²*u'(x)=x³+x
u'(x)=x+1/x
u(x)=∫(x+1/x)dx +C (это новое С=константа)
u(x)=x²/2 + ln(x)+C
Получили:
y(x)=(x²/2 + ln(x)+C)*x=x³/2 + x*ln(x)+x*C
Как упростить не имею представления. Удачи!

Подумал и решил еще одно решение добавить...

$xy'-y= x^{3} +x | :x \ \ y'- frac{y}{x} = x^{2} +1 \ \ p(x)=- frac{1}{x} \ \ intlimits} p(x) , dx = intlimits} - frac{1}{x} , dx =-ln(x)=ln( frac{1}{x})$
Интегрирующий множитель:

$e^{ intlimits {p(x)} , dx } =e^{ ln(frac{1}{x})} = frac{1}{x} \ \ y'- frac{y}{x} = x^{2} +1 | * frac{1}{x} \ \ y'*( frac{1}{x})-( frac{1}{ x^{2} } )*y= x+ frac{1}{x} \ \ y'*( frac{1}{x})+( frac{1}{ x } )'*y= x+ frac{1}{x} \ \ ( frac{y}{x})'= x+ frac{1}{x} \ \ frac{y}{x}= int {(x+ frac{1}{x} )} , dx +C \ \ y=x*( frac{ x^{2} }{2} +ln(x)+C) \ \ y= frac{1}{2} x^{3} +x*ln(x)+x*C$

Answer 2

$xy'-y=x^3+x\y=uv;y'=u'v+v'u\xu'v+xv'u-uv=x^3+x\xu'v+u(xv'-v)=x^3+x\begin{cases}xv'-v=0\u'v=x^2+1end{cases}\frac{xdv}{dx}-v=0\frac{dv}{v}=frac{dx}{x}\intfrac{dv}{v}=intfrac{dx}{x}\ln|v|=ln|x|\v=x\frac{xdu}{dx}=x^2+1\du=(x+frac{1}{x})dx\int du=int(x+frac{1}{x})dx\u=frac{x^2}{2}+ln|x|+C\y=frac{x^3}{2}+xln|x|+Cx$