Question

Найти общее решение дифференциального уравнения $a(x)y^{'}+b(x)y=f(x)$  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=y_{0}$ при $x=x_{0}$

$xy^{'}+2y=frac{1}{x}$  $y_{0}=1, x_{0}=3$

 

Answer 1

Сначала разделим левую и правую часть уравнения на x, получим:

$y'+frac{2}{x}y=frac{1}{x^2}$ 

Решим сначала однородное уравнение, вида:

$y'+frac{2}{x}y=0$ 

Это уравнение с разделяющимися переменными, получаем:$frac{dy}{dx}+frac{2}{x}y=0$

 

$frac{dy}{dx}=-frac{2}{x}y$

 

$frac{dy}{y}=-frac{2}{x}dx$

Берем интеграл от обоих частей получаем: 

 

$int{frac{dy}{y}}=-intfrac{2}{x}dx$

$ln(y)=-2ln(x)$ 

$y=frac{C}{x^2}$ 

Дальше методом вариации свободной постоянной ищем частное решение неоднородного уравнения:

Представляем C как функцию от х, т.е C=C(x) и подставляем выражение   $y=frac{C(x)}{x^2}$ в исходное уравнение. Получаем:

$frac{xC'(x)-2C(x)}{x^3}+frac{2}{x}frac{C(x)}{x^2}=frac{1}{x^2}$ 

Сокращаем подобные и прочее, получаем:

$frac{C'(x)}{x^2}=frac{1}{x^2} \ C'(x)=1 \ C(x)=x$ 

Подставляем получившееся значение C(x) в выражение   $y=frac{C}{x^2}$  и получаем частное решение $y=frac{1}{x}$ 

В итоге общее решение неоднородного уравнения это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Т.е.

$Y=frac{C}{x^2}+frac{1}{x}$ 

Все, уравнение решено. Теперь решаем задачу Коши:

Т.к. $y_0=1\x_0=3$ 

то приходим к уравнению $1=frac{C}{9}+frac{1}{3}\ frac{C}{9}=frac{2}{3}\ C=6$ 

Все, нашли С, теперь пишем решение задачи Коши:

$Y_0=frac{6}{x^2}+frac{1}{x}$ 

Ответ: Общее решение дифференциального уравнения:

  $Y=frac{C}{x^2}+frac{1}{x}$ 

Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющиего начальному условию $y_0=1, x_0=3$ :

  $Y_0=frac{6}{x^2}+frac{1}{x}$