Question

Найти общее решение дифференциального уравнения.

a)2y''+3y'+ y=0
б)y''+4y'+8y=0
в)y''-6y'+9y=0

Answer 1

а) Это однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Перейдем к характеристическому уравнению, сделав замену $y=e^{kx}$

$2k^2+3k+1=0$

Решая как квадратное уравнение, получим $k_1=-1;~ k_2=-frac{1}{2}$

Общее решение: $boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^big{-frac{x}{2} }}$

б) Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.

Пусть $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение:

$k^2+4k+8=0\ (k+4)^2+4=0\ k+4=pm2i\ k=-4pm 2i$

Общее решение: $boxed{y=C_1e^{-2x}cos 2x+C_2e^{-2x}sin 2x}$

в) Пусть $y=e^{kx}$ получим следующее характеристическое уравнение:

$k^2-6k+9=0\ (k-3)^2=0\ k_{1,2}=3$

$k=3$ - корень характеристического уравнения кратности 2

Общее решение: $boxed{y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}}$

Answer 2

Спасибо большое