Question

Найти общее решение диф. уравнения 1-ого порядка.
$x*y*y'=x^{2} +y^{2}$

Answer 1

Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, однородное уравнение.

Пусть $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения $y'=u'x+u$, в результате чего должны получить уравнение с разделяющимися переменными.

$ux^2(u'x+u)=x^2+u^2x^2\ \ u'ux+u^2=1+u^2\ \ u'ux=1$
Получили уравнение с разделяющимися переменными.

$displaystyle frac{du}{dx}= frac{1}{ux}~~~Rightarrow~~~ int udu=int frac{dx}{x} ~~~Rightarrow~~~ frac{u^2}{2}=ln |x|-ln |C| \ \ ln bigg|frac{x}{C}bigg|= frac{u^2}{2} ~~~Rightarrow~~~ x=Ce^{u^2/2}$

Возвращаясь к обратной замене, получим общий интеграл
                                                                    $boxed{x=Ce^{y^2/2x^2}}$