Question

Найти объем тела с помощью тройного интеграла

Answer 1

$1); ; x^2+y^2=1; ; cilindr; ,; ; y-4z+5=0; ; ploskost; ,; ; z=0\\z=frac{y+5}{4}\\V=iiint limits _{V}, dx, dy, dz=iint limits _{D_{xy}}dx, dy intlimits^{frac{y+5}{4}}_0, dz=iint limits _{D_{xy}}, frac{y+5}{4}, dx, dy=\\=[, x=rho cosvarphi ; ,; y=rho , sinvarphi ; ,; ; dx, dy=rho, drho, dvarphi ; ,; x^2+y^2=rho ^2; to ; rho =1, ]=\\=frac{1}{4}intlimits^{2pi }_0, dvarphi intlimits^1_0, (rho , sinvarphi +5), rho , drho =frac{1}{4} intlimits^{2pi }_0, dvarphi , (sinvarphi cdot frac{rho ^3}{3}+5cdot frac{rho ^2}{2}Big )Big |_0^1=$

$=frac{1}{4}int limits _0^{2pi }Big (frac{1}{3}cdot sinvarphi +frac{5}{2}Big ), dvarphi =frac{1}{4}cdot (-frac{1}{3}cdot cosvarphi +2,5varphi )Big |_0^{2pi }=\\=frac{1}{4}cdot (-frac{1}{3}cdot cos2pi +2,5cdot 2pi +frac{1}{3}cdot cos0-0)=\\=frac{1}{4}cdot (-frac{1}{3}+5pi +frac{1}{3})=frac{5pi }{4}$

$2); ; z=5x+4y^2-12xy; ,; ; A(1,1)\\z'_{x}=5-12y; ,; ; ; z'_{x}(1,1)=5-12=-7\\z'_{y}=8y-12x; ,; ; ; z'_{y}(1,1)=8-12=-4\\gradzBig |_{A}=frac{partial z}{partial x}Big |_{A}cdot vec{i}, +, frac{partial z}{partial y}Big |_{A}cdot vec{j}\\\gradzBig |_{A}=-7, vec{i}-4, vec{j}$