Question

Найти наименьшее значения функции:
1)х^2+(16/х^2) при х>0
2)х+(4/х) при х>0

Answer 1

Решим более глобальную задачу: А именно: научимся решать все похожие примеры, а для этого решим две аналогичные задачи:


*** Аналог задачи 1)

$x^2 + frac{81}{x^2} = 9 ( frac{x^2}{9} + frac{9}{x^2}) = 9 ( ( frac{x}{3} )^2 - 2 + ( frac{3}{x} )^2 + 2 ) =$

$= 9 ( ( frac{x}{3} )^2 - 2 frac{x}{3} frac{3}{x} + ( frac{3}{x} )^2 ) + 18 = 9 ( frac{x}{3} - frac{3}{x} )^2 + 18 geq 18$ ;

Причём значение 18 достигается выражением при x = 3, как можно легко видеть из формы последнего преобразования, и что можно вычислить, подставив x = 3 в исходное выражение.


*** Аналог задачи 2)

$x + frac{25}{x} = 5 ( frac{x}{5} + frac{5}{x} ) = 5 ( ( sqrt{ frac{x}{5} } )^2 + ( sqrt{ frac{5}{x} } )^2 ) = 5 ( ( sqrt{ frac{x}{5} } )^2 - 2 + ( sqrt{ frac{5}{x} } )^2 + 2 ) =$

$= 5 ( ( sqrt{ frac{x}{5} } )^2 - 2 sqrt{ frac{x}{5} } sqrt{ frac{5}{x} } + ( sqrt{ frac{5}{x} } )^2 ) + 10 = 5 ( sqrt{ frac{x}{5} } - sqrt{ frac{5}{x} } )^2 + 10 geq 10$

Причём значение 10 достигается выражением при x = 5, как можно легко видеть из формы последнего преобразования, и что можно вычислить, подставив x = 5 в исходное выражение.




Если же задачи предполагается решать при помощи производных, то решим и таким способом:



*** Аналог задачи 1) /// через производную ///

Рассмотрим функцмю $f(x) = x^2 + frac{81}{x^2}$ ;

Её производная: $f'(x) = ( x^2 + 81x^{-2} )' = 2x - 2*81x^{-3} =$

$= frac{2x^4}{x^3} - frac{162}{x^3} = frac{2}{x^3} ( x^4 - 81 ) = frac{ 2 ( x^2 + 9 ) }{x^3} ( x^2 - 9 )$ ;

$f'(x) = frac{ 2 ( x^2 + 9 ) }{x^3} ( x + 3 ) ( x - 3 )$ ;

Производная обнуляется и меняет знак на положительной полуоси только при x = 3 , причем при x > 3 : : : f'(x) > 0 , а значит после стационарной точки функция растёт, т.е. при x = 3 достигается минимум на положительных числах.

Минимум выражения, это $f(3) = 3^2 + frac{81}{3^2} = 18$ ;



*** Аналог задачи 2) /// через производную ///

Рассмотрим функцмю $f(x) = x + frac{25}{x}$ ;

Её производная:

$f'(x) = ( 1 + 25x^{-1} )' = 1 - 25x^{-2} = frac{x^2}{x^2} - frac{25}{x^2} = frac{ x^2 - 25 }{x^2}$ ;

$f'(x) = frac{ x + 5 }{x^2} ( x - 5 )$ ;

Производная обнуляется и меняет знак на положительной полуоси только при x = 5 , причем при x > 5 : : : f'(x) > 0 , а значит после стационарной точки функция растёт, т.е. при x = 5 достигается минимум на положительных числах.

Минимум выражения, это $f(5) = 5 + frac{25}{5} = 10$ ;



В вашем случае сумма решения обоих примеров будеи равна количеству месяцев в году.

Answer 2

Я уже решила ,спасибо,просто у(от числа) от стационарных точек не посчитала,поэтому с ответом не сходилось

Answer 3

Вы, видимо, считали через производную.

Answer 4

Да)

Answer 5

Это универсальный метод. Да. Я на всякий случай дала верешение «для малышей», подумала, вдруг проиводную нельзя пока использовать.