Question

Найти наименьшее натуральное число, являющееся одновременно удвоенным квадратом, утроенным кубом и умноженной на 5 пятой степенью натурального числа. 

Answer 1

$2a^2=3b^3=5c^5Rightarrow a=15d; b=10e; c=6fRightarrow$

$2cdot 15^2d^2=3cdot 10^3e^3=5cdot 6^5f^5Rightarrow 15d^2=10^2e^3=6^4f^5Rightarrow$

$d=30x; e=6y; f=5zRightarrow15cdot 30^2 x^2=10^2cdot6^3y^3=6^4cdot 5^5z^5Rightarrow$

$5x^2=2^3y^3=2^2cdot 3cdot 5^3z^5Rightarrow x=2cdot 3cdot 5 u; y=3cdot 5cdot v; z=2wRightarrow$

$2^2cdot 3^2cdot 5^3u^2=2^3cdot 3^3cdot 5^3v^3=2^7cdot 3cdot 5^3w^5Rightarrow 3u^2=2cdot 3^2v^3=2^5w^5Rightarrow$

$u=6p; v=2q; w=3r; 2^2cdot3^3p^2=2^4cdot 3^2q^3=2^5cdot 3^5r^5Rightarrow$

$3p^2=2^2q^3=2^3cdot 3^3r^5Rightarrow p=6k; q=6m; r=n;$

$2^2cdot 3^3k^2=2^5cdot 3^3m^3=2^3cdot 3^3n^5; k^2=2^3m^3=2n^5 Rightarrow$

$k=2A; m=B; n=2C; 2^2A^2=2^3B^3=2^6C^5; A^2=2B^3=2^4C^5Rightarrow$

$A=4D; B=2E; C=F; 2^4D^2=2^4E^3=2^4F^5; D^2=E^3=F^5.$

Для получения минимальных чисел возьмем D=E=F=1; A=4; B=2; C=1; k=8; m=2; n=2; p=48; q=12; r=2; u=288; v=24; w=6;  x=8640; y=360; z=12; d=259200; e=2160; f=60; a=3888000; b=21600; c=360.

Проверка: $a=2^7cdot 3^5cdot 5^3; 2a^2=2^{15}cdot 3^{10}cdot 5^6$

$b=2^5cdot 3^3cdot 5^2; 3b^3=2^{15}cdot 3^{10}cdot 5^6$

$c=2^3cdot 3^2cdot 5; 5c^5=2^{15}cdot 3^{10}cdot 5^6$

Ответ: $2a^2=3b^3=5c^5=2^{15}cdot 3^{10}cdot 5^6=30233088000000$