Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [a;b]
y=3x/(x^2+1) ; [0;5]

Answer 1

Посмотрим на производную этой функции.
$f'(x) = \frac{3}{x^2+1} - \frac{3x*2x}{(x^2+1)^2} = 3* \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
Посмотрим на то, какие знаки эта производная принимает. Знаменатель всегда положителен. Точки смены знака две: $1$ и $-1$. При чём при больших $x$ $f'(x)$ отрицательно. Таким образом, производная отрицательна на отрезках $(-\infty; -1]$ и $[1; \infty)$, а положительна на отрезке $[-1; 1]$. Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда производная в этой точке положительна, а убывает тогда и только тогда, когда производная отрицательна. Отсюда видно, что максимум на отрезке функция достигнет в точке $1$, наибольшее значение, таким образом, равно $1.5$, а минимум будет в одном из концов отрезка -- либо в $0$ (значение -- $0$), либо в $5$ (значение -- $\frac{15}{26}$). Мы видим, что в 0 значение меньше. Поэтому минимум функции на этом отрезке -- 0. Максимум -- 1.5