Question

найти количество решений уравнения x ^ 2-xy-2y ^ 2 = 7, где x և y - натуральные числа

Answer 1

$x^2-xy-2y^2=7\\x^2-y^2-xy-y^2=7\\(x-y)(x+y)-y(x+y)=7\\(x+y)(x-y-y)=7\\(x+y)(x-2y)=7$

Произведение двух чисел равно 7. Такое возможно только в случаях:

7*1, 1*7, (-7)*(-1), (-1)*(-7).

Рассмотрим все 4 случая.

$1)\left \{ {{x+y=7} \atop {x-2y=1}} \right. \left \{ {{x=7-y} \atop {7-y-2y=1}} \right. \left \{ {{x=5} \atop {y=2}} \right.$

Найденное решение удовлетворяет условие.

$2) \left \{ {{x+y=1} \atop {x-2y=7}} \right. \left \{ {{x=1-y} \atop {1-y-2y=7}} \right. \left \{ {{x=3} \atop {y=-2}} \right.$

Найденно решение не удовлетворяет условие (игрек не является натуральным числом).

$3)\left \{ {{x+y=-7} \atop {x-2y=-1}} \right. \left \{ {{x=-7-y} \atop {-7-y-2y=-1}} \right. \left \{ {{x=-5 } \atop {y=-2 }} \right.$

Найденное решение не удовлетворяет условие (оба числа получились отрицательными).

$4) \left \{ {{x+y=-1} \atop {x-2y=-7}} \right. \left \{ {{x=-1-y} \atop {-1-y-2y=-7}} \right. \left \{ {{x=-3} \atop {y=2}} \right.$

Найденное решение не удовлетворяет условие (икс не является натуральным числом).

Ответ: одно решение (5;2)