Question

Найти интегралы.
Заранее спасибо

Answer 1

$1); ; int frac{dx}{3x^2+4}=int frac{dx}{(sqrt3x)^2+2^2}=frac{1}{2sqrt3}cdot arctgfrac{sqrt3x}{2}+C\\2); ; int frac{e^{3x}, dx}{e^{3x}+4}=[; u=e^{3x}+4; ,; du=3e^{3x}, dx; ]=frac{1}{3}int frac{du}{u}=frac{1}{3}cdot ln|u|+C=\\=frac{1}{3}cdot ln|e^{3x}+4|+C\\3); ; int frac{4-6x^3}{x^2-x+5}, dx=int Big (-6x-6+frac{24x+34}{x^2-x+5}Big ), dx=\\=int Big (-6x-6+frac{24x+34}{(x-frac{1}{2})^2+frac{19}{4}}Big ), dx=-6int x, dx-6int , dx+int frac{24(x-frac{1}{2})+46}{(x-frac{1}{2})^2+frac{19}{4}}, dx=$

$=[; t=x-frac{1}{2}; ,; x=t+frac{1}{2}; ,; dt=dx; ]=\\=-6cdot frac{x^2}{2}-6x+12int frac{2t, dt}{t^2+frac{19}{4}}+46int frac{dt}{t^2+frac{19}{4}}=-3x^2-6x+12cdot lnBig |t^2+frac{19}{4}Big |+\\+46cdot frac{2}{sqrt{19}}cdot arctgfrac{2t}{sqrt{19}}+C=-3x^2-6x+12cdot lnBig |x^2-x+5Big |+\\+frac{92}{sqrt{19}}cdot arctgfrac{2x-1}{sqrt{19}}+C$

$4); ; int limits _0^{1/4}arctg4x, dx=[; u=arctg4x; ,; dv=dx; ,; v=x; ,; du=frac{4, dx}{1+16x^2}; ]=\\=xcdot arctg4xBig |_0^{1/4}-intlimits^{1/4}_0, frac{4x, dx}{1+16x^2}=frac{1}{4}cdot frac{pi}{4}-frac{1}{8}int limits _0^{1/4}, frac{d(1+16x^2)}{1+16x^2}=\\=frac{pi}{16}-frac{1}{8}cdot ln|1+16x^2|Big |_0^{1/4}=frac{pi}{16}-frac{1}{8}cdot ln2$

Answer 2

в третьем примере дифференциал аргумента потеряли