Question

Найти интегралы:
С полным решением.

Answer 1

Пример 1

Метод: разложение интеграла суммы/разности на сумму/разность табличных интегралов.

$ttdisplaystyleint{left(frac{2}{x^2} - frac{3}{sqrt{x}} + 3sqrt[3]{x^2}}right),dx$

$ttdisplaystyle=int{frac{2}{x^2}},dx - int{frac{3}{sqrt{x}},dx + int{3sqrt[3]{x^2}},dx$

$ttdisplaystyle= 2int{frac{1}{x^2}},dx -3int{frac{1}{sqrt{x}}},dx + 3int {x^{frac{2}{3}}} , dx$

$ttdisplaystyle = 2cdotleft(-frac{1}{x}right)-3cdot 2sqrt{x}+3cdotfrac{x^{frac{5}{3}}}{frac{5}{3}} + C$

Пример 2

Метод: приведение под знак дифференциала.

$ttdisplaystyleint{frac{x^3}{1+x^4}}, dx$

$ttdisplaystyle =frac{1}{4}int {frac{(1+x^4)'}{1+x^4}} , dx$

$ttdisplaystyle =frac{1}{4}int {frac{d(1+x^4)}{1+x^4}}= left { {{1 + x^4=t}} right}$

$ttdisplaystyle =frac{1}{4}int{frac{1}{t}} , dt$

$ttdisplaystyle =frac{1}{4}cdot ln|t|$

$ttdisplaystyle = frac{1}{4}cdot ln|1 + x^4| + C$

Но так как степень n = 4 чётная, то отрицательного значения в аргументе логарифма быть не может, максимальное значение: ln|1 + 0| = ln|1| = 0, следовательно, модуль можно убрать.

Пример 3

Метод: по частям.

Так как в подинтегральном выражении модуль, нужно рассматривать два случая:

$ttdisplaystyle I_1= int {xcdot lnx} , dx \\ I_2 = int {xcdot ln(-x)} , dx$

Рассмотрим первый интеграл:

$ttdisplaystyle I_1= int {xcdot lnx} , dx = left[begin{gathered}u=lnxqquad du=frac{1}{x}dx \ dV=xdxqquad V=int {x}, dx =frac{x^2}{2} end{array}right]$

$ttdisplaystyle = ucdot V - int {Vcdot du} , dx$

$ttdisplaystyle=lnxcdotfrac{x^2}{2}-int{frac{1}{x}cdotfrac{x^2}{2}} , dx$

$ttdisplaystyle=lnxcdotfrac{x^2}{2}-frac{1}{2}int {{x}} , dx$

$ttdisplaystyle=lnxcdotfrac{x^2}{2}-frac{1}{2}cdotfrac{x^2}{2} + C$

Второй интеграл отличается от первого знаком минус в аргументе, поэтому ответ будет таким же, различаться будут лишь аргументы (это исключительный случай)

$ttdisplaystyle I_2=ln(-x)cdotfrac{x^2}{2}-frac{1}{2}cdotfrac{x^2}{2} + C$

Так как это кусочно-заданная функция

, нам необходимо написать условия для отдельных формул. Так, для I₁ условие x ≥ 0, а для I₂ < 0.