Question

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y'+y*tg(x)=1/cos(x); y(pi) = 1

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'+ytgx=0$ 

Это дифференциальное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными.

$dfrac{dy}{y} =-tg x dx ;~~Rightarrow~~ displaystyle int dfrac{dy}{y} = dfrac{d(cos x)}{cos x} \ \ ln|y|=ln |cos x|+ln C\ \ y= Ccos x$

Примем теперь константу за функцию, то есть $C=C(x)$
$y=C(x)cos x$

Дифференцируем обе части по переменной х.
$y'=C'(x)cos x-C(x)sin x$

Подставляем эти данные в исходное уравнение, получим

$displaystyle C'(x)cos x-C(x)sin x+C(x)cos xcdot tg x= frac{1}{cos x} \ \ C'(x)cos x-C(x)sin x+C(x)sin x=frac{1}{cos x}\ \ C'(x)=frac{1}{cos^2 x}~~Rightarrow~~ C(x)=int frac{dx}{cos x}=tg x+C_1$

Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения:
                         $y=(tgx+C_1)cos x=sin x+C_1cos x$

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия:

$1=sin pi +C_1cos pi \ 1=-C_1\ C_1=-1$

$boxed{y=sin x-cos x}$ - частное решение


P.S. уравнение решено методом Лагранжа.