Question

Найти частное решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y''+y'-2y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, тогда получаем характеристическое уравнение:

$k^2+k-2=0$

$k_1=-2\ k_2=1$

Общее решение однородного уравнения: $y^*=C_1e^{-2x}+C_2e^x$

Рассмотрим правую часть $f(x)=e^{-2x}$

Здесь $P_n(x)=1~~Rightarrow~~~ n=0;~~~ alpha=-2$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и ,принимая во внимая, что n=0 частное решение будем искать в виде:

$overline{y}=Axe^{-2x}$

Вычислим первую и вторую производные функции

$y'=(Axe^{-2x})'=Ae^{-2x}-2Axe^{-2x}\ y''=-2Ae^{-2x}-2Ae^{-2x}+4Axe^{-2x}=-4Ae^{-2x}+4Axe^{-2x}$

Подставляем в исходное уравнение

$-4A+4Ax+A-2Ax-2Ax=1\ -3A=1\A=-dfrac{1}{3}$

$overline{y}=-dfrac{1}{3}xe^{-2x}$

Общее решение неоднородного уравнения:

$y=y^*+overline{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^x-dfrac{1}{3}xe^{-2x}\ \\ y'=-2C_1e^{-2x}+C_2e^x+dfrac{2}{3}xe^{-2x}-dfrac{1}{3}e^{-2x}$

Найдем частное решение подставив начальные условия

$displaystyle left { {{-1=C_1+C_2} atop {1=-2C_1+C_2-dfrac{1}{3}}} right. ~~~Rightarrow~~~left { {{C_1=-dfrac{7}{9}} atop {C_2=-dfrac{2}{9}}} right.$

Получаем ответ: $y=-dfrac{7}{9}e^{-2x}-dfrac{2}{9}e^x-dfrac{1}{3}xe^{-2x}$

Answer 2

Условие читайте! Найти нужно частное решение а не общее решение неоднородного!

Answer 3

Найти частное решение от общего решения неоднородного уравнения.

Answer 4

Ваш вопрос отличается от вопроса задающего! Не стоит себя напрягать с высока

Answer 5

Такие задания задают, если в условии записано ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Просто вопрос до конца полностью не написали... Не было бы смысла в условии задавать лин. неоднор. диффер. ур-ие с пост. коэфф.

Answer 6

хотя я понял что вы имеете ввиду. Нужно было решить задачу Коши)