Question

Найти частное решение дифференциального уравнения
y’-y=y^3e^-x , y(0)=1

Answer 1

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}} y'-y=y^3\cdot e^{-x},\\[8pt] y(0)=1\end{array}\right.$

Преобразуем ДУ и найдем общее решение:

$\displaystyle y'=y\left(y^2 e^{-x} +1\right),\\[10pt] \left(\ln y\right)'=y^2 e^{-x}+1,\\[10pt] \longrightarrow u(x)=\ln y(x)\implies y(x)=e^{u(x)},\\[10pt] u'=e^{2u-x}+1,\\[10pt] (u-x)' = e^{2u-x},\\[10pt] \longrightarrow u(x)-x=f(x)\implies u(x)=f(x)+x,\\[10pt] f'=e^{2f} e^{x},\\[10pt] \int e^{-2f}\,\mathrm{d}\big({-2f}\big)=-2\int e^{x}\,\mathrm{d} x,$

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}\ln\big| {-2 e^{x}} + C\big|,\\[10pt] u(x) = \ln\big|{-2 e^{x}} + C\big|^{-\frac{1}{2}}+x,\\[10pt] \boxed{y(x) =\frac{e^x}{\sqrt{C-2 e^x}}}$

Выделим частное решение (найдём константу):

$\displaystyle y(0)=1,\\[10pt] \frac{1}{\sqrt{C-2}} = 1 \implies C=3$

Ответ. $y(x)=\dfrac{e^x}{\sqrt{3-2e^x}}$