Question

Найти частное решение дифференциального уравнения
$y''+2y'+y=-2sinx+x+2$$y(0)=1;y'(0)=2$

Answer 1

$y''+2y'+y=-2sinx+x+2\\\\1)\ \ k^2+2k+1=0\ \ ,\ \ (k+1)^2=0\ \ ,\ \ k=-1\\\\y_{obsh.odn.}=e^{-x}\, (C_1+C_2x)\\\\2)\ \ f_1(x)=-2sinx\ \ \ ,\qquad \qquad \qquad f_2(x)=x+2\\\\\widetilde{y}=Acosx+Bsinx\qquad\qquad \qquad \quad \qquad \widetilde {\widetilde{y}}=Cx+D\\\\\widetilde{y}\, '=-Asinx+Bcosx\qquad \qquad \qquad \qquad \widetilde {\widetilde{y}}\, '=C\\\\\widetilde{y}\, ''=-Acosx-Bsinx\qquad \qquad \qquad \qquad \widetilde {\widetilde{y}}\, ''=0\\\\-2Asinx+2Bcosx=-2sinx\quad \qquad \qquad Cx+D+2C=x+2$

$-2A=-2\ ,\ A=1\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad C=1\\\\2B=0\ \ ,\ \ B=0\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad D+2C=2\ \ ,\ \ D+2=2\ \ ,\ \ D=0$

$y_{chastn.}=cosx+x\\\\y_{obsh.neodn.}=e^{-x}\, (C_1+C_2x)+cosx+x\\\\y_{obsh.neodn.}(0)=C_1+1=1\ \ ,\ \ C_1=0\\\\y'_{obsh.neodn.}(x)=-e^{-x}(C_1+C_2x)+C_2\cdot e^{-x}-sinx+1\\\\y'_{obsh.neodn.}(0)=-C_1+C_2+1=2\ \ ,\ \ C_2=1\\\\y_{chastn.neodn.}=x\, e^{-x}+cosx+x$