Question

Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения:
y'-xy=2x^3

Answer 1

ИСПОЛЬЗОВАН МЕТОД ЛАГРАНЖА.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'-xy=0$ - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$displaystyle frac{dy}{dx} =xy~~~Rightarrow~~ frac{dy}{y} =xdx~~~Rightarrow~~~ ln|y|= frac{x^2}{2}+C$

$y=Ce^{frac{x^2}{2} }$ - общее решение однородного уравнения

Примем $C=C(x)$, тогда $y=C(x)e^{frac{x^2}{2} }$. По правилу дифференцирования произведения: $y'=C'(x)e^{frac{x^2}{2} }+xC(x)e^{frac{x^2}{2} }$

Подставим данные в исходное уравнение:
 $C'(x)e^{frac{x^2}{2} }+xC(x)e^{frac{x^2}{2} }-xC(x)e^{frac{x^2}{2} }=2x^3\ C'(x)e^{frac{x^2}{2} }=2x^3$
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$C(x)=displaystyle int 2x^3e^{-frac{x^2}{2} }dx= bigg{u=x^2;~~ 2xdx=dubigg}= frac{1}{2} int ue^{- frac{u}{2} }du=\ \ \ = frac{1}{2} bigg(-2ue^{- frac{u}{2} }+2int e^{- frac{u}{2} }dubigg)=-2x^2e^{- frac{x^2}{2} }-4e^{- frac{x^2}{2} }+C_1$


Общее решение:    $y=bigg(-2x^2e^{- frac{x^2}{2} }-4e^{- frac{x^2}{2} }+C_1bigg)e^{ frac{x^2}{2} }=C_1e^{ frac{x^2}{2} }-2x^2-4$

Найдем частное решение, подставляя начальные условия :
$0=C_1e^{ frac{0^2}{2} }-2cdot0^2-4\ C_1-4=0~~~Rightarrow~~~ C_1=4$


$boxed{y=4e^{ frac{x^2}{2} }-2x^2-4}$ -ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ.