Question

Найти а, если сумма площадей заштрихованных на графике частей равна 2 целые 2/3

Answer 1

Поняла, где ошиблась, из-за чего у меня не выходил ответ :)
Суммарная площадь равна: S=S1+S2=8/3
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох:
$-x^{2}+2x=0$
$x(2-x)=0, x=0, x=2$ - это пределы интегрирования

$S_{1}= intlimits^2_0 {(-x^{2}+2x)} , dx =- frac{x^{3}}{3}+x^{2} |^{2}_{0} = - frac{8}{3}+4= frac{4}{3}$ - площадь первой фигуры
$S_{2}=S-S_{1}= frac{8}{3}- frac{4}{3}= frac{4}{3}$ - площадь второй фигуры
$S_{2}= intlimits^a_2 {(0-(-x^{2}+2x)} , dx = intlimits^a_2 {(x^{2}-2x)} , dx = frac{x^{3}}{3}-x^{2} |^{a}_{2}=$$frac{a^{3}}{3}-a^{2}-(frac{8}{3}-4)=frac{a^{3}}{3}-a^{2}+ frac{4}{3}= frac{4}{3}$
$frac{a^{3}}{3}-a^{2}=0$
$a^{2}*(frac{a}{3}-1)=0, a>2$
$a=0$ - посторонний корень
$frac{a}{3}=1, a=3$ - корень

Ответ: a=3

Answer 2

$y=-x^2+2x\ -x^2+2x=0\ x(-x+2)=0\ x=0\ x=2\ intlimits^2_0 {-x^2+2x} , dx=-frac{x^3}{3}+x^2 |^2_0 = -frac{8}{3}+4 =frac{4}{3}$ 
 площадь большей заштрихованной  равен $frac{4}{3}$  ,  второй  
 $frac{8}{3}-frac{4}{3}=frac{4}{3}$ , то есть они равны. 
  
Значит второй    
  $intlimits^a_2 {x^2-2x} , dx = frac{x^3}{3}-x^2=frac{4}{3}\\ frac{a^3}{3}-a^2-frac{8}{3}+4=frac{4}{3}\\ a=3$