Question

найдите значение выражения
$\sqrt{(7 + x)(11 - x)}$
если
$\sqrt{7 + x} = 9 - \sqrt{11 - x}$
​

Answer 1

Ответ:

Если рассматривать только вещественные числа, то условие противоречиво. Если допустимо иметь комплексные корни, то 31,5

Пошаговое объяснение:

К сожалению, у уравнения из условия нет действительных решений: корни определены при -7 ≤ x ≤ 11. Тогда максимальное значение левой части равно $\sqrt{7+11}=\sqrt{18} < \sqrt{20{,}25}=4{,}5$, а минимальное значение правой части $9-\sqrt{11-(-7)}=9-\sqrt{18} > 9-\sqrt{20{,}25}=4{,}5$.

Если вы уже знаете про комплексные числа, то это вас не остановит, и можно искать дальше (при этом придётся оговориться, что среди значений корня выбирается именно то, при котором всё получится =)).

Обозначим $a=\sqrt{7+x}$, $b=\sqrt{11-x}$. Тогда по условию a = 9 - b, а найти требуется ab.

Перенесём b в другую часть и возведём в квадрат:

a + b = 9

a² + 2ab + b² = 81

2ab = 81 - (a² + b²)

$ab=\dfrac{81-(a^2+b^2)}{2}$

Найдём, чему равно a² + b²:

a² + b² = (7 + x) + (11 - x) = 7 + 11 = 18

Тогда

$ab=\dfrac{81-18}2=31{,}5$