Question

Найдите значение функции

Answer 1

Ответ:

$z=x^2+y^2-xy-x-y\ \ ,\ \ D:\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\ ,\ y\geq 0\ ,\\x+y\leq 3\end{array}\right$

1)  Находим стационарные точки.

$z'_{x}=2x-y-1=0\ \ ,\qquad y=2x-1\\\\z'_{y}=2y-x-1=0\ \ ,\qquad 2(2x-1)-x-1=0\ \ ,\ \ 3x=3\ \ ,\ \ x=1\\\\y=2\cdot 1-1=1\ \ \Rightarrow \ \ \ \underline{M_0(\ 1\ ;\ 1\ )}\in D\ -\ stacionarnaya\ tochka\\\\z(M_0)=z(1;1)=1+1-1-1-1=\boxed{-1\ }$

2) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследуем три прямые, являющиеся границами этого треугольника .

$a)\ \ y=0\ ,\ 0\leq x\leq 3\ ,\\\\z(x)=x^2-x\ \ ,\ \ \ z'=2x-1=0\ \ ,\ \ x=0,5\in [\ 0\ ;\ 3\ ]\ \ ,\\\\\underline{M_1(0,5\ ;\ 0\ )\ }\\\\z(M_1)=z(\, 0,5\, ;\, 0\, )=0,25-0,5=\boxed{-0,25\ }$

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка .

$z(M_2)=z(0;0)=\boxed{\ 0\ }\\\\z(M_3)=z(3;0)=9-3=\boxed{6\ }\\\\b)\ \ x=0\ \ ,\ 0\leq y\leq 3\ \ ,\\\\z(y)=y^2-y\ \ ,\ \ 2y-1=0\ \ ,\ \ y=0,5\in [\, 0\, ;\, 3\, ]\\\\\underline{M_4(\, 0\, ;\, 0,5\, )}\\\\z(M_4)=z(\, 0;\, 0,5\, )=0,25-0,5=\boxed{-0,25\ }$

Вычислим значения функции на концах отрезка .

$z(M_2)=z(0;0)=\boxed{\ 0\ }\\\\z(M_5)=z(0;3)=9-3=\boxed{\ 6\ }\\\\c)\ \ x+y=3\ \ ,\ \ y=3-x\ \ \Rightarrow \\\\z=x^2+(3-x)^2-x\, (3-x)-x-(3-x)=x^2+9-6x+x^2-3x+x^2-x-3+x=\\\\=3x^2-9x+6=3\, (x^2-3x+2)\\\\z'=3\, (2x-3)=0\ \ ,\ \ x=1,5\\\\y=3-1,5=1,5\ \ \Rightarrow \ \ \ \underline{M_6(\, 1,5\ ;\ 1,5\, )}\\\\z(M_6)=z(\, 1,5\ ;\ 1,5\, )=2,25+2,25-2,25-1,5-1,5=\boxed{-0,75\ }$

Вычислять значения на концах отрезка, в точках М₃ и М₅ не обязательно, так как они уже исследованы выше .

Теперь выбираем наибольшее и наименьшее значения функции, полученные при вычислениях выше. Они обведены квадратиками .

Наименьшее значение  $z(\, 1\ ;\ 1\, )=-1$ .

Наибольшее значение  $z(\, 0\, ;\, 3\, )=z(\, 3\, ;\, 0\, )=6$  .  

Answer 2

Ответ:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Пошаговое объяснение: