Question

найдите значение других трёх основных тригонометрических функций, если:
$\cot( \alpha ) = - \frac{3}{4}$
и
$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$
​

Answer 1

Ответ:

Дано:  $ctg\alpha=-\frac{3}{4} ~;~\frac{3\pi }{2} < \alpha < 2\pi$ ⇒α∈ IV ч.

Найти: $sin\alpha~,~tg\alpha~,~cos\alpha$

Решение:

Найдём тангенс , использовав основное тригонометрическое тождество: $tg\alpha*ctg\alpha=1$, отсюда  найдём тангенc.

$tg\alpha*(-\frac{3}{4} )=1\\\boxed{tg\alpha=\frac{1}{(-\frac{3}{4}) } = -\frac{4}{3} }$

Найдём синус ,  использовав основное тригонометрическое тождество:$\frac{1}{sin^2\alpha} =ctg^2\alpha+1$,

отсюда найдём синус:

$\frac{1}{sin^2\alpha} =(-\frac{3}{4} )^2+1\\\\\frac{1}{sin^2\alpha} =\frac{9}{16} +1\\\\\frac{1}{sin^2\alpha} =\frac{25}{16}\\\\sin^2\alpha=\frac{16}{25} \\\\\boxed{\underbrace{sin\alpha}_{~-;IV}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}}$

Найдём косинус , использовав основное тригонометрическое тождество: $tg\alpha=\frac{sin\alpha }{cos\alpha}$

отсюда найдём косинус:

$\frac{4}{3} =\frac{\frac{4}{5} }{cos\alpha} \\\\\boxed{\underbrace{cos\alpha}_{~+;IV}=\frac{\frac{4}{5} }{\frac{4}{3} } =\frac{\not4}{5} *\frac{3}{\not4} =\frac{3}{5} }$

Ответ: $tg\alpha=-\frac{4}{3} ~;~sin\alpha=-\frac{4}{5} ~;~cos\alpha=\frac{3}{5}$