Question

найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2+ρx+3ρ^4 наибольшая

Answer 1

Если разность корней наибольшая, то и квадрат разности тоже наибольший. Вычислим, чему равен квадрат разности корней этого уравнения (если эти корни существуют):

$(x_1-x_2)^2 =x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2=\=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-rho)^2-4cdot3rho^4=rho^2(1-12rho^2)$

Разность квадратов – квадратичная функция относительно ρ², максимальное значение такая функция принимает в вершине, т.е. в точке ρ² = 1/24 = 6/144 ($rho=pmsqrt{6}/12$). Несложно убедиться, что дискриминант совпадает с квадратом разности корней и положителен, поэтому при таких ρ уравнение действительно имеет два корня.

Ответ.

$rho=pmdfrac{sqrt6}{12}$