Question

Найдите все значения параметра а

Answer 1

Распишу коротко, алгоритм должен быть правильным, но за вычислительные ошибки ответственности не несу.

Посмотрим на $x^2-6x+5$, это парабола с ветвями вверх, значения такой функции будут $geq 0$ при $x in (- infty,-1]cup [5,+ infty)$, меньше - очевидно.

1) Рассмотрим исходное неравенство при $x in (- infty,-1]cup [5,+ infty)$

Левая часть упростится до константы, неравенство будет выглядеть так:

$f(x,a)=-x^2+6x-16-a^2+a>0$

Это парабола с ветвями вниз, параметр лишь поднимает/опускает ее по оси $x_0=-b/(2a)=3$

Чтобы у $f(x,a)$ была некая область значений строго больших нуля необходимо чтобы дискриминант был больше нуля (в этом случае парабола пересечет ось $y=0$ и ее "горб" залезет в область положительных $y$ ). Посчитаем дискриминант

$D(a)=-4a^2+4a-28$

Эта ф-ия парабола, притом $forall a ;D(a)<0$

Значит такой случай отпадает.

2) Пусть теперь $x in (-1,5)$

Левая часть упростится до $|-2x^2+12x-18|$, что мы можем раскрыть со знаком минус т.к. ф-ия под модулем всегда больше либо равна нулю

Итого неравенство станет таким

$-3x^2+18x-26+a-a^2>0$

Как и в предыдущем случае смотрим на дискриминант

$D(a)=-12a^2+12a+12$

$D(a)>0$ при $ain(1/2-sqrt{5} /2,1/2+sqrt{5} /2)$

т.е. только при таких $a$ нер-во потенциально может иметь решение. Вновь значение параметра передвигает параболу (с ветвями вниз) вдоль прямой $x_0=-18/-6=3$

Понятно что середина "горба", пересекающего прямую $y=0$, лежит в точке с абсциссой $x_0$, а края

$x_{12}=3 pm 1/3,sqrt {-3,{a}^{2}+3,a+3}$ отстоят от точки $x_0$ на некоторые равные расстояния

Чтобы нер-во имело единственное целочисленное решение, необходимо наложить условия на края "горба"

$left { {{3 + 1/3,sqrt {-3,{a}^{2}+3,a+3}<4} atop {3 - 1/3,sqrt {-3,{a}^{2}+3,a+3}>2}} right.$

Таким образом лишь решением будет лишь целая точка $x_0=3$

Решение системы выглядит как

$frac{1}{2} left(1-sqrt{5}right)<a<frac{1}{2} left(1+sqrt{5}right)$

Что и будет ответом