Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений 1)x+3|y|+5=0
2)(x-a)^2+y^2=4 имеет 4 решения
Ответы на вопрос
Ответ:
a ∈ (-5 - 2√10; -7)
Пошаговое объяснение:
Дана система уравнений:
{ x + 3|y| + 5 = 0
{ (x - a)^2 + y^2 = 4
Найти. при каких а эта система имеет 4 решения.
Решение:
Проще всего решить эту задачу графически.
Смотрите рисунок.
1) 1 уравнение распадается на два уравнения:
[ y = (x + 5)/3 при y < 0
[ y = -(x + 5)/3 при y >= 0
Совокупность уравнений записывается с квадратной скобкой слева, в отличие от системы, которая записывается с фигурной скобкой.
Совокупность означает, что может выполняться любое из этих двух уравнений.
График этой совокупности - два луча, выходящих из A(-5; 0).
Таким образом, мы получаем две системы:
a) { y = (x + 5)/3
{ (x - a)^2 + y^2 = 4
b) { y = -(x + 5)/3
{ (x - a)^2 + y^2 = 4
2) 2 уравнение - это уравнение окружности с центром B(a; 0) и R = 2.
На рисунке показаны две окружности в крайних положениях.
Правая - окружность с центром (-7; 0), она проходит через A(-5; 0).
При a = -7 система имеет 3 решения.
Левая - это окружность, которая касается обоих лучей.
При этом (неизвестном) значении а = a0 система имеет 2 решения.
При a0 < a < -7 система имеет 4 решения, что нам и нужно.
Найдем это значение а = a0:
{ y = (x + 5)/3
{ y^2 = 4 - (x - a)^2
Возводим в квадрат 1 уравнение:
{ y^2 = (x + 5)^2/9 = (x^2 + 10x + 25)/9
{ y^2 = 4 - (x - a)^2
Приравниваем правые части:
(x^2 + 10x + 25)/9 = 4 - (x - a)^2
Нам нужно подобрать такое а, чтобы уравнение имело одно решение - точку касания между прямой и окружностью.
x^2 + 10x + 25 = 36 - 9(x^2 - 2ax + a^2)
x^2 + 10x + 25 = 36 - 9x^2 + 18ax - 9a^2
10x^2 + (10 - 18a)x + (9a^2 - 11) = 0
Так как уравнение имеет один корень, то D = 0
D = (10 - 18a)^2 - 4*10(9a^2 - 11) = 100 - 360a + 324a^2 - 360a^2 + 440 = 0
-36a^2 - 360a + 540 = 0
Делим всё на -36
a^2 + 10a - 15 = 0
D = 10^2 + 4*15 = 100 + 60 = 160 = (4√10)^2
a1 = (-10 - 4√10) / 2 = -5 - 2√10 ≈ -5 - 6,32 = -11,32 < -7 - подходит
a2 = (-10 + 4√10) / 2 = -5 + 2√10 ≈ -5 + 6,32 = 1,32 > -7 - не подходит.
Итак, мы получили:
При a0 < a < -7 система имеет 4 решения, что нам и нужно.
a0 = -5 - 2√10
