Question

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$left { {{xy=a} atop {y+2-|x| geq0 atop xy* sqrt{-y+ sqrt{4- x^{2} } } geq 0 }} right.$
имеет не более трех решений

Answer 1

Во-первых, область определения
{ 4 - x^2 >= 0, отсюда x = [-2; 2]
{ -y + √(4 - x^2) >= 0, отсюда y <= √(4 - x^2); y^2 <= 4 - x^2; y^2 + x^2 <= 4; y = [-2; 2]
Это область внутри круга с центром О(0; 0) и радиусом 2.
Во-вторых, решаем систему
{ x*y = a
{ y + 2 - |x| >= 0, отсюда |x| <= y + 2, учитывая обл. опр, это будет верно всегда.
{ x*y*√(-y - √(4 - x^2)) >= 0
В третьем неравенстве корень арифметический, то есть неотрицательный.
Значит, есть два варианта:
1) -y - √(4 - x^2) = 0
√(4 - x^2) = -y
(x1 = -2; y1 = 0); (x2 = 2; y2 = 0); (x = 0; y = -2). Во всех трех случаях а = xy = 0.

Это и будет единственное решение, при котором система имеет 3 корня.

Answer 2

надо было найти, когда не более трех решений

Answer 3

к тому же если решать графически, то при а = 0 бесконечное количество решений

Answer 4

Ну тогда я тоже сдаюсь