Question

Найдите все первообразные функции f1(X)=-x^2, графики которых касаются параболы f2(X)=x^2-3
Пожалуйста, очень нужно

Answer 1

Первообразные первой функции задаются формулой $F_1(x)=-frac{x^3}{3}+C.$

В точке касания совпадают значения функций и значения их производных (заметим, что производная функции $F_1(x)$ равна $f_1(x)$:


$left { {{-x^2=2x} atop {-frac{x^3}{3}+C=x^2-3}} right.$

Первое уравнение дает два значения x: x=0 и x= - 2.

1) x=0; подставляем во второе уравнение: C= - 3 $Rightarrow F_1(x)=-frac{x^3}{3}-3$

2) x=-2; $frac{8}{3}+C=4-3; C=-frac{5}{3}Rightarrow F_1(x)=-frac{x^3+5}{3}$

Замечание. Касание кривых в одной точке не мешает им пересекаться в другой (или даже других). Так, во втором случае кубическая парабола касается квадратичной в найденной точке и пересекается с квадратичной при некотором положительном x.