Question

Найдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством: 7p + 1 делится на q, а 7q + 1 делится на p.

Answer 1

Ответ:

Будем считать, что  p < q  (равны эти числа быть не могут).

 Первый способ. Число  7p + 7q + 1,  очевидно, делится на pq. Значит,  7p + 7q + 1 ≥ pq,  откуда либо  p ≤ 7,  либо  (p – 7)² < (p – 7)(q – 7) ≤ 50,  то есть

p ≤ 14.  Поэтому p может принимать лишь значения 2, 3, 5, 7, 11 или 13, а  7p + 1  – соответственно значения 15, 22, 36, 50, 78 или 92. Проверкой простых делителей этих чисел убеждаемся, что условию задачи удовлетворяют лишь три пары, приведённые в ответе.

 Второй способ. Если  p = 2,  то q – делитель числа 15, то есть  q = 3  или 5, и оба варианта удовлетворяют условию.

 Пусть  p ≥ 3.  Тогда числа  7p + 1  и  7q + 1  чётны:  7p + 1 = 2aq,  7q + 1 = 2bp,  где  a < b.  Поэтому      Следовательно,  49 < 4ab ≥ 49 + 7/3 + 7/5 + 1/15 < 53,  а значит,  4ab = 52,  то есть  ab = 13.

 Итак,  a = 1,  b = 13,  7p + 1 = 2q,  7q + 1 = 26p.  Отсюда  49p + 7 = 14q = 52p – 2,  так что  p = 9 : 3 = 3,  q = (7·3 + 1) : 2 = 11.

Ответ

2 и 3, 2 и 5, 3 и 11.

Пошаговое объяснение: