Question

Найдите все пары отрицательных целых чисел (x; y).

$x^{2}-2y-xy+2x-4=0$

Answer 1

Ответ:

(-1; -5); (-6; -5); (-4; -2)

Решение:

$x^2-2y-xy+2x-4=0$

$x^2-xy+2x-2y=4$

$x(x-y)+2(x-y)=4$

$(x-y)(x+2)=4$

Заметим, что если $x$ и $y$  - целые числа, то и выражения $x-y$ и $x+2$ - также целые числа. Дать в произведении 4 могут только следующие пары целых чисел:

$4=1\cdot4=2\cdot2=4\cdot1=-1\cdot(-4)=-2\cdot(-2)=-4\cdot(-1)$

Поэтому рассмотрим соответствующие системы.

1)

$\begin{cases} x-y=1 \\ x+2=4 \end{cases}$

Второе уравнение дает решение $x=2$, однако по условию числа в искомых парах должны быть отрицательными. Поэтому, этот случай не дает решений.

2)

$\begin{cases} x-y=2 \\ x+2=2 \end{cases}$

Второе уравнение дает решение $x=0$, это вновь не отрицательное число, поэтому решений вновь нет.

3)

$\begin{cases} x-y=4 \\ x+2=1 \end{cases}$

Из второго уравнения получим:

$x=1-2=-1$

Тогда, из первого уравнения:

$y=x-4=-1-4=-5$

$\boxed{(-1;\ -5)}$ - пара, удовлетворяющая условию

4)

$\begin{cases} x-y=-1 \\ x+2=-4 \end{cases}$

Из второго уравнения получим:

$x=-4-2=-6$

Тогда, из первого уравнения:

$y=x+1=-6+1=-5$

$\boxed{(-6;\ -5)}$ - пара, удовлетворяющая условию

5)

$\begin{cases} x-y=-2 \\ x+2=-2 \end{cases}$

Из второго уравнения получим:

$x=-2-2=-4$

Тогда, из первого уравнения:

$y=x+2=-4+1=-2$

$\boxed{(-4;\ -2)}$ - пара, удовлетворяющая условию

6)

$\begin{cases} x-y=-4 \\ x+2=-1 \end{cases}$

Из второго уравнения получим:

$x=-1-2=-3$

Тогда, из первого уравнения:

$y=x+4=-3+4=1$

Поскольку найденное значение $y$ не отрицательно, этот случай не дает решений.