Question

Найдите все целые значения параметра a , при которых неравенство lx^2-2x+al>5
не имеет корней на отрезке [-1;2]. В ответе укажите количество найденных значений параметра a.

Answer 1

Обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат.
(x^2 - 2x + a)^2 > 25
(x^2 - 2x + a - 5)(x^2 - 2x + a + 5) > 0
((x - 1)^2 + (a - 6))((x - 1)^2 + (a + 4)) > 0

У последнего неравенства не должно быть решений на отрезке [-1, 2].
Неравенство на деле зависит от (x - 1)^2 = t, поэтому необходимо и достаточно требования, что у неравенства относительно t:
(t + (a - 6))(t + (a + 4)) > 0
нет решений при t, принадлежащих отрезку [0, 4].

Функция в левой части - квадратный трёхчлен, притом старший коэффициент положителен. Понятно, что неотрицательные значения он принимает на промежутке [-4 - a, 6 - a]. Теперь всего-навсего остаётся найти, при каких a отрезок [0, 4] вложен в отрезок [-4 - a, 6 - a] (концы отрезков могут и совпадать).

-4 - a <= 0
6 - a >= 4

-4 <= a <= 2

целые решения: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 - вроде 7 штук