Question

Найдите все целые значения a при которых уравнение
x^2 -(a+2)x-0,25a+1=0
имеет два различных неотрицательных корня
запиши в ответ количество найденных значений.

Answer 1

Для начала определим при каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет два корня. Для этого нужно решить неравенство D > 0.

$D=(a+2)^2-4(1-\frac{1}{4}a)=a^2+4a+4-4+a=a^2+5a>0\\ a(a+5)>0\\\\a \in (-\infty;-5)\cup(0;+\infty)$

По теореме Виета, данное квадратное уравнение имеет два различных неотрицательных корня, если выполнена система неравенств

$\displaystyle \left \{ {{a+2\geq 0} \atop {-\frac{1}{4}a+1\geq 0}} \right. ;~~\left \{ {{a\geq -2} \atop {a\leq 4}} \right.$

С учетом существования корней, получаем $a \in (0;4]$ из них количество целых значений равно 4.

Ответ: 4.