найдите точку максимума функции y=lnx- x2/2
amanda2sempl:
ОДЗ исходной функции: х > 0
Нули производной - потенциальные точки экстремума, расставим их на числовой оси (точка х = -1 - не входит в область определения, поэтому на числовой оси поставим только точку х = 1)
справа от х = 1 производная имеет знак минус (при х =2: 1/х - х = 1/2 - 2 = -1,5 меньше нуля), значит правее точки х = 1 исходная функция будет монотонно убывать
слева от х = 1 производная положительна: (при х = 1/2: 1/х - х = 2 - 1/2 = 1,5 больше нуля), значит левее точки х = 1 исходная функция будет монотонно убывать
(0;1) - промежуток возрастания, (1; + ∞ ) - убывания
вру: слева от х = 1 производная положительна: (при х = 1/2: 1/х - х = 2 - 1/2 = 1,5 больше нуля), значит левее точки х = 1 исходная функция будет монотонно возрастать
значит х = 1 - точка максимума исходной функции
подытожим: ОДЗ исходной функции: х > 0, производная: y' = (lnx - x²/2)' = 1/x - 2x/2 = 1/x - x, y' = 0 if 1/x - x = 0, откуда (1-x²)/х = 0, корни уравнения: х1 = 1, х2 = -1 при условии х не равен 0, х1 и х2 - нули производной - потенциальные точки экстремума; расставим их на числовой оси (точка х = -1 - не входит в область определения, поэтому на числовой оси поставим только точку х = 1)
справа от х = 1 производная имеет знак минус (при х =2: 1/х - х = 1/2 - 2 = -1,5 меньше нуля), значит правее точки х = 1 исходная функция будет монотонно убывать. Cлева от х = 1 производная положительна: (при х = 1/2: 1/х - х = 2 - 1/2 = 1,5 больше нуля), значит левее точки х = 1 исходная функция будет монотонно возрастать
(0;1) - промежуток возрастания, (1; + ∞ ) - убывания, значит х = 1 - точка максимума исходной функции
Ответы на вопрос
Ответил Аноним
0
ОДЗ :х∈(0;+∞)
у'=1/x -2x/2=1/x-x=(1-x²)/x=(1-х)*(1+х)*х
х=1; х=-1; х=0
________-1_________0___________1______
+ -
х=1- точка максимума функции у=lnx- x²/2
Новые вопросы