Question

Найдите точки максимума и минимума функции. Рассчитайте значения функции в этих точках. В ответе укажите сумму значений функции в этих точках.
y = -2x³ - 3x² + 12x - 4
Впишите ответ (десятичный разделитель - точка или запятая)

Answer 1

Відповідь:

Ответ: -21

Покрокове пояснення:

Для того чтобы найти точки максимума и минимума функции, необходимо сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума.

Дана функция:

y = -2x³ - 3x² + 12x - 4

Найдем производную функции:

y' = d/dx(-2x³ - 3x² + 12x - 4)

y' = -6x² - 6x + 12

Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

-6x² - 6x + 12 = 0

Решим уравнение:

-6x² - 6x + 12 = 0

Делим на -6 (чтобы упростить выражение): x² + x - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

x = (-1 ± √(1 + 4*2)) / 2

x = (-1 ± √9) / 2

x = (-1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем две критические точки:

a) x₁ = (3 - 1) / 2 = 1

b) x₂ = (-3 - 1) / 2 = -2

Определим тип каждой критической точки, проверив вторую производную в этих точках:

y'' = d²/dx²(-2x³ - 3x² + 12x - 4)

y'' = -12x - 6

a) Для x = 1:

y''(1) = -12*1 - 6 = -12 - 6 = -18 (отрицательное число, следовательно, это точка максимума).

b) Для x = -2:

y''(-2) = -12*(-2) - 6 = 24 - 6 = 18 (положительное число, следовательно, это точка минимума).

Теперь найдем значения функции в этих точках:

a) Для x = 1:

y(1) = -21³ - 31² + 12*1 - 4 = -2 - 3 + 12 - 4 = 3

b) Для x = -2:

y(-2) = -2*(-2)³ - 3*(-2)² + 12*(-2) - 4 = -2*(-8) - 3*4 - 24 - 4 = 16 - 12 - 28 = -24

Таким образом, сумма значений функции в точках максимума и минимума равна:

3 + (-24) = -21

Ответ: -21