Question

Найдите сумму:
1) Всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
2) Всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;
3) Всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящий 130.
Буду очень признателен, если вы мне объясните досконально

Answer 1

1) 7070

1)Для того, чтобы найти сумму всех чисел от 20 до 120 включительно рассмотрим данный ряд как арифметическую прогрессию.

20; 21; 22; 23 ... 120.

Первый член прогрессии a1 = 20; последний член прогрессии равен an = 120.

d = an + 1 - an;

d = a2 - a1 = 20 - 21 = 1;

Найдем номер под которым стоит число 120 в арифметической прогрессии:

an = a1 + d(n - 1);

120 = 20 + 1(n - 1);

120 - 20 = n - 1;

100 = n - 1;

n = 101.

Ищем сумму по формуле:

S101 = (a1 + a101)/2 * 101 = (20 + 120)/2 * 101 = 140/2 * 101 = 70 * 101 = 7 070.

Answer 2

Сумма арифметической прогрессии.

1) a₁ = 20

aₙ = 120 = 20 + (n-1)·1

120 = 20 + n - 1,

120 - 20 + 1 = n

n = 101

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$

$S_n = \frac{20 + 120}{2}\cdot 101 = \frac{140}{2}\cdot 101 = 70\cdot 101 = 7070$

2) a₁ = 4

aₙ = 300 = 4 + (n-1)·4

300 = 4 + 4n - 4

300 = 4n

n = 300/4 = 3·25 = 75

$S_n = \frac{4+300}{2}\cdot 75 = \frac{304}{2}\cdot 75 = 152\cdot 75 = 11400$

3) a₁ = 7

Кратные 7.

140, 133,

133 - 7 = 126

aₙ = 126 = 7 + (n-1)*7

126 = 7 + 7n - 7

126 = 7n

n = 126/7 = 18

$S_n = \frac{7 + 126}{2}\cdot 18 = \frac{133}{2}\cdot 18 = 133\cdot 9 = 1197$