Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) f{x)=x⁴-2x²
2) f{x)=sinx

Answer 1

1) Найдём производную функции: $f'(x)=4x^3-4x$

$4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$

Нули производной: -1; 0; 1. $f'(x)geq 0$, т. е. функция возрастает при $xin[-1; 0]cup[1; +infty)$; $f'(x)leq 0$, т. е. функция убывает при $xin(-infty; -1]cup[0; 1]$ (см. рис. 1)

2) $f'(x) = cos{x}$

Рассмотрим функцию на тригонометрической окружности (см. рис. 2). При $-frac{pi}{2}+2pi nleq xleq frac{pi}{2}+2pi n, ninmathbb{Z}$ $f'(x)geq 0$, т. е. функция возрастает; при $frac{pi}{2}+2pi nleq xleq frac{3pi}{2}+2pi n, ninmathbb{Z}$ $f'(x)leq 0$, т. е. функция убывает.

Ответ: 1) Возрастает при $xin[-1; 0]cup[1; +infty)$, убывает при $xin(-infty; -1]cup[0; 1]$; 2) Возрастает при $-frac{pi}{2}+2pi nleq xleq frac{pi}{2}+2pi n, ninmathbb{Z}$, убывает при $frac{pi}{2}+2pi nleq xleq frac{3pi}{2}+2pi n, ninmathbb{Z}$