Question

Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках A (–5;–2), B (–1;1), C (3;–2), D (–1;–4).

Answer 1

Обозначим два вектора: a=AB и b=AD

1)Найдем координаты ветора a

$a=AB=[X_{B}-X_{A};Y_{B}-Y_{A}]=[-1+5;1+2]=[4;3]$

2)Найдем координаты вектора b

$b=AD=[X_{D}-X_{A};Y_{D}-Y_{A}]=[-1+5;-4+2]=[4;2]$

3)Площадь четырехугольника будет являтся модулем векторного произведениея $[atimes b]\ S=[a times b] = |a||b| sin(a;b)$

Построив,увидим,что четырехугольник - ромб.Соответственно все углы по 45 градусов

$S=|a||b|sin45=|a||b|frac{sqrt{2}}{2}$

 

4)Найдем модули векторов

$|a|=sqrt{x^2 +y^2}=sqrt{4^2 +3^2} =sqrt{16+9}=sqrt{25}=5 \ |b|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{4^2+2^2}=sqrt{16+4}=sqrt{20}=sqrt{5*4}=2sqrt{5}$

$|a||b|=5*2sqrt{5}=10sqrt{5}$

 

5)$S=10sqrt{5} * frac{sqrt{2}}{2}=5sqrt{5*2}=5sqrt{10}$

Ответ:$S=5sqrt{10}$