Question

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда в котором диагонали боковых граней, выходящих из одной вершины, равны 6 и 8, а угол между ними 60°

Подсказка: тут нужно решить через систему

Answer 1

Ответ:

Объем прямоугольного параллелепипеда  равен 48 √5 куб. ед.

Объяснение:

По условию задан прямоугольный парллелепипед. Пусть его измерения a, b,c .

Рассмотрим Δ $ABA_{1}$

AB =a, $AA_{1}=c$

Воспользуемся теоремой Пифагора и составим уравнение

$a^{2} +c^{2} =8^{2} ;\\a^{2} +c^{2} =64$

Рассмотрим Δ $BCC_{1}$

$BC=b,CC_{1} =c$

Получим уравнение, используя теорему Пифагора

$b^{2} +c^{2} =6^{2} ;\\b^{2} +c^{2} =36$

Из Δ$A_{1} B_{1} C_{1}$

$A_{1} C_{1}^{2} =a^{2} +b^{2}$

Рассмотрим Δ$A_{1} BC_{1}$ и применим теорему косинусов: квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$A_{1} C_{1}^{2} =6^{2} +8^{2} -2\cdot6\cdot8\cdot cos 60^{0} =36+64-2\cdot48\cdot \dfrac{1}{2} =100-48=52$

Тогда получим третье уравнение

$a^{2} +b^{2}=52$

Значит, можно составить систему:

$\left \{\begin{array}{l} a^{2} +b^{2} = 52, \\ b^{2} +c^{2} =36, \\ a^{2} +c^{2} = 64.\end{array} \right.$

Сложим почленно все три уравнения и получим

$2a^{2} +2b^{2} +2c^{2} =52+36+64;\\2(a^{2} +b^{2} +c^{2}) =152|:2\\a^{2} +b^{2} +c^{2}=76$

Если $a^{2} +b^{2}=52$,         $a^{2} +b^{2} +c^{2}=76$  , то $c^{2} =76-52=24$

$c=\sqrt{24} =\sqrt{4\cdot6} =2\sqrt{6}$

Если  $a^{2} +c^{2} =64$  и   $a^{2} +b^{2} +c^{2}=76,$   то $b^{2} =76-64=12$

$b=\sqrt{12} =\sqrt{4\cdot3} =2\sqrt{3}$

Если $b^{2} +c^{2} =36$  и   $a^{2} +b^{2} +c^{2}=76,$    то $a^{2} =76-36=40$

$a=\sqrt{40} =\sqrt{4\cdot10} =2\sqrt{10}$

Объем прямоугольного параллелепипеда определяется по формуле:

$V=a\cdot b\cdot c;\\V= 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} \cdot2\sqrt{10}= 8\sqrt{180} =8\sqrt{36\cdot5} =8\cdot6\cdot\sqrt{5} =48\sqrt{5}$  куб. ед.