Question

Найдите неопределённый интеграл:
$intlimits {sin(lnx)} , dx$

Answer 1

$displaystyle int sin(ln x), dx= left{begin{array}{ccc}t=ln x\ x=e^t\dt=dfrac{dx}{x}end{array}right}=int e^{t}sin t, dt,,,boxed{=}$

$displaystyle int e^{alpha t}sin(beta t)dt=dfrac{e^{alpha t}(alphasin(beta t)-beta cos(beta t))}{alpha^2+beta^2}+C$

$boxed{=}~dfrac{1}{2}e^t(sin t-cos t)+C=dfrac{1}{2}e^tcdot sqrt{2}sin(t-frac{pi}{4})=dfrac{1}{2}e^{ln x}sqrt{2}sin(ln x-frac{pi}{4})+C=\ \ \ =dfrac{x}{sqrt{2}}sin(ln x-frac{pi}{4})+C$

Answer 2

Спасибо)

Answer 3

Легче, мне кажется, было свести логарифм к самому себе

Answer 4

можно было бы использовать два раза по частям - тоже вариант