Question

найдите неопределённые интегралы (a, b – константы)

хотя бы первые две?

​

Answer 1

1) $\displaystyle \int 2f'(x)dx=2\int f'(x)dx=2f(x)+C$

2) $\displaystyle \int f(x)f'(x)dx=\int \dfrac{2f(x)}{2}\cdot f'(x)dx=\dfrac{f^2(x)}{2}+C$

3) $\displaystyle \int (a+bT)dT=\int adT+\int bTdt=aT+\dfrac{bT^2}{2}+C$

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle 1)\ \ \int 2\, f'(x)\, dx=2\int f'(x)\, dx=2\int d\Big(f(x)\Big)=2\cdot f(x)+C\\\\\\2)\ \ \int f(x)\cdot \underbrace{f'(x)\, dx}_{d(f(x))}=\int f(x)\cdot d\Big(f(x)\Big)=\dfrac{f^2(x)}{2}+C\\\\\\3)\ \ \int (a+bT)\, dT=\dfrac{1}{b} \int (a+bT)\cdot d(a+bT)=\frac{1}{b}\cdot \frac{(a+bT)^2}{2}+C=\frac{(a+bT)^2}{2b}+C$

  $\star \ \ (a+bT)\ -$  линейная функция  $\star$

  $\star \ \ d(a+bT)=(a+bT)'\cdot dT=b\cdot dT\ \ \star$