Question

Найдите наклонные асимптоты графика функции:

Answer 1

$y= frac{5x^2+x-1}{x-4}$
Вертикальная асимптота: х = 4 - точка разрыва
$lim_{x to 4-0} frac{5x^2+x-1}{x-4}=lim_{x to 4-0} frac{5(4-0)^2+(4-0)-1}{(4-0)-4}=lim_{x to 4-0} frac{83}{-0}=-infty \ lim_{x to 4+0} frac{5x^2+x-1}{x-4}=lim_{x to 4+0} frac{5(4+0)^2+(4+0)-1}{(4+0)-4}=lim_{x to 4+0} frac{83}{+0}=+infty$
=> x = 4 - вертикальная асимптота
Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$
$k=lim_{x to pm infty} frac{f(x)}{x}=lim_{x to pm infty} frac{5x^2+x-1}{x(x-4)}=lim_{x to pm infty} frac{5x^2+x-1}{x^2-4x}=\ =lim_{x to pm infty} frac{5x^2}{x^2}=5$
$b=lim_{x to pm infty} (f(x)-kx)=lim_{x to pm infty} [frac{5x^2+x-1}{x-4}-5x]=\ =lim_{x to pm infty} frac{5x^2+x-1-5x^2+20x}{x-4} =lim_{x to pm infty} frac{21x-1}{x-4} =lim_{x to pm infty} frac{21x}{x} =21$
=> $y=5x+21$ - наклонная асимптота.