Question

Найдите наибольшее значение величины х+у, если $x^{2} +y^2\leq 2020x+2020y$

Answer 1

$x^2+y^2\leq 2020x+2020y \Leftrightarrow (x- 1010)^2+(y-1010)^2\leq 2\cdot 1010^2$, то есть это круг (с границей), с центром в точке $(1010,1010)$ и радиусом $\sqrt{2}\cdot 1010$. Среди точек этого множества требуется найти такие, для которых $x+y$ принимает наибольшее значение. Понятно также, что никакая точка внутренности не является искомой, поскольку ее можно сдвинуть на вектор $(\varepsilon,\varepsilon)$ для некоторого $\varepsilon>0$. Потому точки ищем на границе.

Рассмотрим прямую $x+y=a$. Требуется максимизировать $a$, то есть увеличивать это значение до тех пор, пока эта прямая имеет пересечения с окружностью. Предельный случай -- касание. Имеем: $y = \sqrt{r^2 - (x-1010)^2}+1010$, $y' = -\dfrac{2(x-1010)}{2\sqrt{r^2-(x-1010)^2}} = -1 \Leftrightarrow x-1010 = \sqrt{r^2-(x-1010)^2}$, откуда $x=2020$. Тогда $y=2020$ и $a = 4040$.