Question

найдите наибольшее значение функции
$y = x \sqrt{x} - 6x + 2$
на отрезке [0,4]​

Answer 1

Решение:

Сначала найдем производную функции:

$\displaystyle \Big (y \Big )' = \Big (x\sqrt{x} - 6x + 2\Big )' = \Big (x\sqrt{x} } \Big )' + \Big (6x \Big )' + \Big (2\Big )' = \frac{3\sqrt{x} }{2} + 6$

При этом, как и производная, так и сама функция существуют только на промежутке $\Big [ \; 0; \; + \infty \; \Big )$.

Теперь найдем ноли производной:

$\displaystyle \frac{3\sqrt{x} }{2} - 6 = 0 \\\\3 \sqrt{x} = 12\\\\\sqrt{x} = 4\\\\x =16$

А знаки производной будут выглядеть следующим образом:

                    $\Big [ \; 0 \; \Big ]$ - - - - - - - - - $\Big [ \; 16 \; \Big ]$ + + + + + + + + + +

_______________________________________

Значит, на промежутке $\Big [ \; 0; \; 16 \; \Big ]$ (и, в частности, $\Big [ \; 0; \; 4 \; \Big ]$) функция убывает.

⇒ Наибольшее значение функции будет в точке $x=0$:

$\displaystyle y_{max} = y(0) = 0 \cdot \sqrt{0} - 6 \cdot 0 + 2 = \underline{2}$

Задача решена!

Ответ:  2  (при x = 0).