Question

Найдите множество пар чисел a;b ,для каждой из которых равенство
$a(cosx-1)+b^2=cos(ax+b^2)-1$ выполняется для всех x

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$a(\cos x-1)+b^2=\cos(ax+b^2)-1$

Заметим, что множество значений правой части уравнения вне зависимости от параметров $a$ и $b$ будет от -2 до 0, кроме случая, когда $a=0$, поэтому его нужно рассмотреть отдельно.

При $a=0$:

$b^2=\cos b^2-1\\\cos b^2=b^2+1$

Наименьшее значение правой части будет равно $1$ и достигается, если $b=0$. Наибольшее значение левой части будет равно $1$ и достигается в том числе, когда $b=0$. Тогда $b=0$ корень уравнения. Так как в этом случае равенство верно для всех $x$, то $a=0$ и $b=0$ являются ответом.

При $a\ne0$:

Когда равенство выполняется при всех $x$, графики левой и правой частей совпадают, то есть множество значений левой части уравнения тоже должно быть от -2 до 0.

Примем сначала, что $a>0$:

Множество значений $\cos x-1$ будет ограничиваться отрезком $[-2;\; 0]$.

Множество значений $a(\cos x -1)$ будет ограничиваться отрезком $[-2a;\;0]$.

Множество значений $a(\cos x -1)+b^2$ будет ограничиваться отрезком $[-2a+b^2;\;b^2]$.

Тогда должна выполняться система:

$\left\{\begin{array}{c}-2a+b^2=-2\\b^2=0\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{c}a=1\\b=0\end{array}\right;$

Проверим, являются ли полученные значения ответом:

$1\times(\cos x-1)+0^2=\cos(1\times x+0^2)-1\\\cos x-1=\cos x-1$

Равенство верно для всех $x$, поэтому $a=1$ и $b=0$ являются ответом.

Рассмотрим теперь случай, когда $a<0$:

В этом случае границы множества значений поменяются местами и станут $[b^2;\;-2a+b^2]$.

Подобно случаю выше приходим к системе:

$\left\{\begin{array}{c}-2a+b^2=0\\b^2=-2\end{array}\right;$

Эта система не имеет решений.

Тогда такой случай не даст дополнительного ответа.

Итого:

При $a=0$; $b=0$ /или/ $a=1$; $b=0$ исходное равенство выполняется при всех $x$.

Задание выполнено!

Answer 2

Ответ:

(0;0); (1;0)

Объяснение:

Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для x=0:

$a(1-1)+b^2=cos(b^2)-1\Leftrightarrow b^2+1=cos(b^2)$

Левая часть полученного уравнения не меньше 1, правая - не больше 1. Значит, уравнение равносильно системе $\left\{\begin{array}{c}b^2+1=1\\cos(b^2)=1\end{array}\right.$

Из 1ого уравнения получим $b=0$, которое удовлетворяет и 2ому уравнению системы.

Подставив в условие, получим:

$a(cosx-1)=cos(ax)-1$

1) $a=0$

После подстановки получим $0=1-1$ - верно

2) $a\neq 0$

Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для $x=2\pi$:

$a(1-1)=cos(2\pi a)-1\Leftrightarrow cos(2\pi a)=1\Leftrightarrow 2\pi a=2\pi n, n\in Z\Leftrightarrow a=n, n\in Z$

Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для $x=\dfrac{2\pi}{a}$:

$a(cos\dfrac{2\pi}{a}-1)=1-1\Leftrightarrow a(cos\dfrac{2\pi}{a}-1)=0\Leftrightarrow cos\dfrac{2\pi}{a}=1\Leftrightarrow \dfrac{2\pi}{a}=2\pi k, k\in Z\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{k}, k\in Z$

Но тогда, с учетом полученного выше условия, а может принимать значения 1 или -1:

2.1) $a=1\Rightarrow cosx-1=cosx-1$ - верно

2.2) $a=-1\Rightarrow -cosx+1=cos(-x)-1\Leftrightarrow 2=2cosx$ - очевидно, равенство не тождественное. Значит, $a\neq -1$