Question

Найдите инфимум и супремум для множества { (( − 1 )^n)*((1/4) − 2/n ) : n ∈ N } . Ответ укажите в виде десятичных дробей, разделенных пробелом.

Answer 1

Докажем вначале важное утверждение которым и воспользуемся.

Утверждение:

Пусть А - непустое и не конечное множество, так что $Asubseteq mathbb R$. Предположим что существует $x in mathbb R$ так что $forall y in A Rightarrow yleq x$. Если существует последовательность $(a_n)$ элементов из А выполняющая $displaystyle lim_{n to infty} a_n = x$ то $sup A=x$.

Доказательство:

Допустим от противного, что $sup A ne x$, тогда существует $z in mathbb R$ так что $forall yin A Rightarrow y leq z land z < x$.

Из-за того что $a_n leq z$, обязательно выполняется $displaystyle lim_{n to infty} a_n leq z < x$ что противоречит тому что $displaystyle lim_{n to infty} a_n = x$.

Следовательно $sup A = x$.

Существует эквивалентное утверждение связанное с инфимумом, но доказывать его не буду (оно аналогично прошлому доказательству, но с некоторыми изменениями).

Теперь решим саму задачу:

Заметим что данное множество состоит из элементов последовательности $a_n =(-1)^n cdot ((1/4)-2/n)$, а также тот факт что для всех $nin mathbb N$:

$displaystyle |a_n| = 1/4 - 2/n < 1/4$

Т.е.:

$-1/4 < a_n <1/4$

Рассмотрим две подпоследовательности - $(a_{2n}), (a_{2n-1})$

Так как:

$displaystyle lim_{n to infty} a_{2n} = 1/4\ lim_{n to infty} a_{2n-1}=-1/4$

Получаем: $sup A = 1/4, inf A = -1/4$

Answer 2

К сожалению пишет что ответ не правильный (((

Answer 3

Видимо потому что нужно было написать ответ в виде десятичной дроби: 0.25 и -0.25

Answer 4

А само решение правильно, в этом я уверен.