Question

Найдите число пар (x , y ) которые принимают целые значения

Удовлетворяющих уравнению

$x^2+xy=5x+6y-18$

Answer 1

$x^2+xy=5x+6y-18$

Выразим y из уравнения:

$x^2-5x+18=6y-xy$

$x^2-5x+18=(6-x)y$

$y=\dfrac{x^2-5x+18}{6-x}$

Выделим целую часть в получившейся дроби:

$\dfrac{x^2-5x+18}{6-x}=-\dfrac{x^2-5x+18}{x-6}=-\dfrac{x^2-6x+x-6+6+18}{x-6}=$

$=-\dfrac{x(x-6)+(x-6)+24}{x-6}=-\dfrac{(x-6)(x+1)+24}{x-6}=$

$=-\left(x+1+\dfrac{24}{x-6}\right)=-x-1-\dfrac{24}{x-6}$

Таким образом:

$y=-x-1-\dfrac{24}{x-6}$

То есть, если выражение $\dfrac{24}{x-6}$ является целым, то тогда значение $y$ также будет целым.

Остается выяснить, при каких целых $x$ выражение $\dfrac{24}{x-6}$ является целым (точнее, сколько таких $x$).

Если $(x-6)$ является делителем числа 24, то дробь $\dfrac{24}{x-6}$ представляет собой целое число.

Перечислим целые делители числа 24:

$\pm1;\ \pm2;\ \pm3;\ \pm4;\ \pm6;\ \pm8;\ \pm12;\ \pm24$

Имеется 16 целых делителей у числа 24. По каждому делителю $d$ можно будет найти целое значение $x=d+6$, а по каждому значению $x$ можно будет найти значение $y=-x-1-\dfrac{24}{x-6}$.

Ответ: 16 пар