Question

Навмання вибрано два додатних числа, кожне з яких не перевищує 6. Знайти ймовірність того, що сума їх буде не більша 5, а добуток не менше 3

Answer 1

Пусть х и у - заданные числа. Используем геометрическую вероятность. Так как х и у положительные числа и берутся из отрезка (0;6), можно, считать что точка выбирается в координатами (x,y) из квадрата на плоскости: $(0;6)times (0;6)$

Должны выполняться условия:

$1)~x+y leq 5\ 2)~ xy geq 3$

Искомая вероятность - это отношение площади фигуры, определяемой этими ограничениями к площади квадрата, то есть, к 6*6=36.

Найдем точки пересечения двух графиков(а именно ограниченные линии)
$displaystyle left { {{x+y=5} atop {xy=3}} right. ~~~Rightarrow~~~ left { {{x_{1,2}= frac{5pm sqrt{13} }{2} } atop {y_{1,2}=frac{5mp sqrt{13} }{2}}} right.$

Площадь фигуры, ограниченной линиями:  

$displaystyle S= intlimits^{frac{5+sqrt{13} }{2}}_{frac{5- sqrt{13} }{2}} {bigg(5-x- frac{3}{x} bigg)} , dx=bigg(5x- frac{x^2}{2}-3ln |x|bigg)bigg|^{frac{5+sqrt{13} }{2}}_{frac{5- sqrt{13} }{2}} approx3.554$

Искомая вероятность: $P= dfrac{3.554}{36} approx0.1$