Question

Натуральные числа a меньше b меньше c таковы, что 1/а+1/b+1с=1. Чему равно с?

Answer 1

заметим, что если взять наименьшие натуральные числа больше 1 (1 не подходит, т.к. тогда 1/b + 1/c = 0, что невозможно), т.е. а = 2, b = 3

то минимальное с = 6, причем это решение

докажем, что с не может равняться другому числу:

$frac{1}{a} +frac{1}{b} =1-frac{1}{c} =frac{c-1}{c}$

если привести дроби к общему знаменателю, то получим, что с = НОК(а, b), т.е. с делится и на а, и на b

c = ax = by

т.к. a и b натуральные и больше 1, a < b то

x ≤ c/2; y ≤ c/3

a = c/x; b = c/y

подставим это:

$frac{1}{frac{c}{x}} +frac{1}{frac{c}{y}} =frac{x+y}{c} =frac{c-1}{c} \\ x+y+1=c\\ c = x+y+1leq frac{c}{2} +frac{c}{3} +1=frac{5c+6}{6} \\ 6cleq 5c+6\\ cleq 6$

Значит, с = 6 единственное решение

Ответ: с = 6