Question

Натуральное число делится на 42. Сумма цифр, не участвующих в написании этого числа, равна 35. Докажите, что в записи числа есть хотя бы две одинаковые цифры

Answer 1

Поскольку сумма всех цифр от 0 до 9 равна:

0+1+2+...+9 = 9*10/2 = 45, то сумма всех элементов множества цифр, входящих в состав данного числа равна: 45 - 35 = 10.

Предположим, что в данном числе все цифры различны, но тогда все его цифры совпадают со всеми элементами данного множества, иначе говоря, сумма цифр этого числа равна 10, но тогда, поскольку сумма цифр данного числа не делится на 3 ( 10 не делится на 3), то и данное число не делится на 3, но по условию данное число делится на 42, а значит должно делится на 3, то есть мы пришли к противоречию.

Как видим, хотя бы две цифры данного числа должны быть одинаковыми.