Question

Напишите уравнение той касательной к графику функции y=f(x), которая параллельна данной прямой y=kx+m:
f(x)=ln(3x+2), y=x+7

Answer 1

Так как касательная параллельная прямой y=x+7, то угловые коэффициенты этих прямых равны: $k=1$. Также угловой коэффициент равен значению производной в точке касания: $f'(x_0)=1$. Таким образом, мы сможем найти точку касания:
$f(x)=ln(3x+2) \ f'(x)= frac{1}{3x+2} cdot(3x+2)'=frac{1}{3x+2} cdot3=frac{3}{3x+2} \ f'(x_0)= frac{3}{3x_0+2} =1 \ 3x_0+2=3 \ 3x_0=1 \ x_0= frac{1}{3}$
Уравнение касательной в общем виде:
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Неизвестным остается только значение функции в точке касания:
$f(x_0)=ln(3cdot frac{1}{3} +2)=ln3$
Получаем уравнение:
$y=ln3+(x- frac{1}{3} )=x+ln3- frac{1}{3}$