На рисунке изображён прямоугольник ABCD . Точки K, L, M, N-середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCK.
P(AMCK) =?
Ответы на вопрос
Ответ:
Вероятность P(AMCK) = 0,5.
Пошаговое объяснение:
На рисунке изображён прямоугольник ABCD. Точки K, L, M, N - середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCK.
P(AMCK) = ?
Решение.
Проведем отрезки AM и KC.
Из точки M опустим перпендикуляр на прямую AD
⇒ MK ⊥ AD;
MK ║ AB ║ CD (если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой).
1) Рассмотрим ΔAMK и ΔKCD.
∠AKM = ∠KDC = 90° (MK⊥AD, ∠KDC - угол прямоугольника)
AK = KD (точка K - середина AD)
MK = CD (отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными прямыми равны).
- Если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
ΔAMK = ΔKCD.
⇒ ∠MAK = ∠CKD.
2) Докажем, что AMCK - параллелограмм.
∠MAK = ∠CKD - это соответственные углы при прямых AM и KC и секущей AD ⇒ AM ║КС.
- Противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны.
AK ║MC отрезки, лежащие на противоположных сторонах прямоугольника.
Четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, - параллелограмм.
AMCK - параллелограмм.
Примечание.
Можно доказать, что AMCK - параллелограмм, без доказательства равенства треугольников и ⇒ равенства соответственных углов.
Признак параллелограмма:
если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
MC = AK как половины равных отрезков BC и AD,
и MC ║ AK - лежат на параллельных прямых
⇒ AMCK - параллелограмм
3) Найдем вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCK.
- Вероятность наступления некоторого события в испытании равна отношению
P(A)=m(A)/m(G),
где m(G) - геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания,
m(A) - мера, выражающая количество благоприятствующих событию исходов.
m(G), m(A) - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А.
Вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, равна отношению площади параллелограмма AMCK к площади прямоугольника ABCD.
Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его смежных сторон.
S(ABCD) = AD · CD.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
S(AMCK) = AK · MK = (AD/2) · CD = (AD · CD) / 2.
P(AMCK) = S(AMCK) / S(ABCD) = (AD · CD) / 2 : (AD · CD) = 1/2 = 0,5.
Вероятность равна 0,5.
#SPJ1
