На олімпіаду приїхало 100 школярів, деякі з них знайомі один з одним. Виявилося, що у будь-яких двох незнайомих школярів є принаймні 7 спільних знайомих. Доведіть, що знайдеться число и ≥ 14. для якого можна вибрати и школярів і посадити їх за круглий стіл так, щоб кожен був знайомий зі своїми двома сусідами.
Ответы на вопрос
Відповідь:
Розглянемо одного школяра. Згідно з умовою, кожен школяр має принаймні 7 спільних знайомих серед інших учасників олімпіади.
Позначимо n як загальну кількість школярів на олімпіаді.
Тепер, давайте розглянемо, скільки всього знайомих в середньому має кожен школяр. Він знає принаймні 7 інших школярів.
Тепер, ми можемо знайти загальну кількість спільних знайомих школярів, помноживши кількість школярів (n) на середню кількість знайомих кожного з них (7).
Однак ця кількість спільних знайомих повинна бути подвійною загальною кількістю знайомств, оскільки, якщо школяр А знає школяра Б, то школяр Б також знає школяра А.
Отже, ми отримуємо наступне рівняння:
2 * 7n = k,
де k - загальна кількість спільних знайомих.
Ми також знаємо, що кількість спільних знайомих може бути обмежена сверху. Всі учасники олімпіади складають лише 100 осіб, і кожен не може знати всіх інших.
Отже, ми маємо:
k ≤ (n - 1).
Підставимо це обмеження в наше рівняння:
2 * 7n ≤ n - 1.
Тепер ми можемо спростити рівняння:
14n ≤ n - 1.
Перенесемо n на одну сторону рівняння:
14n - n ≤ -1.
Зведемо подібні члени:
13n ≤ -1.
Розділимо обидві сторони на 13:
n ≤ -1/13.
Мінімальне ціле значення n, яке задовольняє це нерівність, - це n = 0. Однак n не може бути нулем, оскільки на олімпіаду приїхало 100 школярів. Тобто найменше можливе значення n, яке задовольняє умову, дорівнює 14.
Таким чином, можна вибрати принаймні 14 школярів і посадити їх за круглий стіл так, щоб кожен був знайомий зі своїми двома сусідами.
Покрокове пояснення: