Question

На аркуші паперу записано двозначне число. Якщо додати квадрати
його цифр, то результат виявиться більшим за саме число на 15. Добуток
цифр цього числа більший на 3 за його половину. Знайдіть це число.

Answer 1

Ответ:

такого числа не существует

Пошаговое объяснение:

Двухзначное число можно записать в виде $10x+y$ - где $x$ и $y$ - соответственно первая и вторая цифры этого числа.

Составим систему уравнений:

$\left \{ {{x^2+y^2=10x+y+15} \atop {xy=\frac{10x+y}{2}+3}} \right.$.

Решим её:

$\left \{ {{x^2+y^2=10x+y+15} \atop {2xy=10x+y+6}} \right.$

$x^2+y^2-2xy=10x+y+15-(10x+y+6)\\x^2+y^2-2xy=9\\(x-y)^2=9\\x-y=\pm3\\x=y\pm3$

Подставим это, например, во второе уравнение:

$1)\\2(y+3)y=10(y+3)+y+6\\2y^2+6y=10y+30+y+6\\2y^2+6y=11y+36\\2y^2=5y+36\\2y^2-5y-36=0\\y^2-2.5y-18=0\\y^2-2.5y+1.5625-1.5625-18=0\\(y-1.25)^2-19.5625=0\\(y-1.25)^2=19.5625\\y-1.25=\sqrt{19.5625}$

Однако $\sqrt{19.5625}$ не является рациональным числом, следовательно, такой цифры не может быть, и нам надо проверить вторую возможность:

$2)\\2(y-3)y=10(y-3)+y+6\\2y^2-6y=10y-30+y+6\\2y^2-6y=11y-24\\2y^2=17y-24\\2y^2-17y+24=0\\y^2-8.5y+12=0\\y^2-8.5y+18.0625-18.0625+12=0\\(y-4.25)^2-6.0625=0\\(y-4.25)^2=6.0625\\y-4.25=\sqrt{6.0625}$

Однако, поскольку $\sqrt{6.0625}$ также не является рациональным числом, мы получаем, что решений нету.

Следовательно, такого числа не существует.

P. S. Я перебрал программой все двузначные числа, однако ни одно из них не соблюдает даже первое условие..